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Series of Lessons in Mathematics Volume 1. An Axiomatic Set-Theory

In Matematica Moderna l'esigenza di una sempre più rigorosa trattazione dell'Insiemistica, esente dai ben noti paradossi logici sollevati alle versioni classiche di questo soggetto, è ormai ampiamente consolidata. In questo articolo si presenta un libro di testo, gradualmente completato, sulla versione ispirata ai lavori in Logica Matematica condotti da John von Neumann, Paul Bernays e Kurt Godel (N.B.G., appunto), modificata con l'aggiunta di individui "atomici" (chiamati anche "urelementi", termine più conosciuto in letteratura).

L'adozione di una formulazione assiomatica con atomi per l'Insiemistica e, nel caso di specie, la possibilità di trattare classi e insiemi (oltre che di poter gestire individui privi di alcuna struttura insiemistica interna, quali gli atomi) costituisce uno strumento molto potente per l'indagine sui Fondamenti della Matematica, ed in particolare per le applicazioni nell'ambito della teoria dei sistemi formali, e prima ancora nell'area feconda dei linguaggi formali (molto vicina agli obiettivi della Scienza del Computer). Ma l'obiettivo che ne ha motivato la genesi, è quello della Teoria delle Categorie.

L'aspetto categoriale è sempre più sentito come un linguaggio e un punto di vista unificante, ormai da più di trent'anni radicato nel modo in cui i matematici esercitano la loro professione, ma di riflesso anche nel modo in cui i fisici teorici si avvicinano a questioni tecniche connesse con le più avanzate teorie, le quali sono ormai un tutt'uno con svariate branche della Matematica, in particolar modo della Geometria.

Per fare breccia nella complessità di tali soggetti, serve appunto una formulazione dell'Insiemistica che raggiunga questioni molto profonde, e come tale NBG con atomi appare molto promettente su questo fronte, molto più di quanto appaia la teoria ZFC con la quale, sostanzialmente, condivide praticamente tutti i risultati "insiemistici", ma non certi risultati che hanno ruoli chiave sulla strada categoriale.

Sul piano prettamente logico, tuttavia, NBG con atomi non è la sola formulazione potenzialmente idonea a raggiungere gli scopi descritti sopra: di fatto, una più potente versione è quella formulata da Kelley e Morse (KM) e un'altra da Tarski e Grothendieck (TG), ma l'effettività superiore di queste due ulteriori formulazioni, cioè la capacità di dimostrare affermazioni non dimostrabili in NBG con atomi, porta ulteriori conseguenze (soprattutto la seconda -TG-) connesse alla dimostrabilità di alcuni assiomi di NBG stesso: è proprio quest'ultimo fatto che lascia intendere, per la diversità strutturale di tali assiomi, che la potenza espressiva di TG sia molto al di là di quanto possa garantire NBG stessa. Di fronte a questo stato di cose, ho deciso di esplorare molto nel dettaglio l'Insiemistica con la versione qui proposta, al fine di delineare accuratamente eventuali problemi aperti, in merito a temi legati all'ambito dei Numeri Cardinali e Ordinali, settore in cui per esempio TG ha dato enormi contributi aggiuntivi (sebbene per la NBG sia interessante stabilire fino a che punto essa possa spingersi in tale area).

Lo sviluppo dei contenuti della risorsa prodotta in questo lavoro, tuttavia, intende coprire più di un migliaio di teoremi, gradualmente aggiunti con le loro dimostrazioni. Può certamente costituire un valido punto di partenza per tutti coloro i quali siano interessati ad un aspetto matematico ben fondato, e ancora sufficientemente semplice sotto il punto di vista logico-strutturale.

Serie di Lezioni in Matematica - Volume 1. Una Teoria Assiomatica degli Insiemi by Dr. Davide Iannone

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